第8章离散时间系统(1)-65页PPT资料

发布于:2021-06-14 16:47:04

第 7 章 离散时间系统
序列的 Z变换 序列的傅里叶变换 离散时间系统变换域分析 系统函数 离散时间系统的Z变换解 系统函数的零极点与频率响应 系统的分类
第二章第1讲

2.3 Z变换的定义

时域: 复频域:

Laplace 变换

j? s *面

0

?

第二章第1讲

2

因为 所以
频域:

s ? j?

?
j? s *面

0

?

??

Fourier 变换

所以,傅里叶变换是 s 仅在虚轴上取

值的拉普拉斯变换第。二章第1讲

3

对离散信号,可否做拉普拉斯变换

L

第二章第1讲

令: 4

则:
拉普拉斯变换
z 变换

离散信号 的 z 变换
对应连续信号 对应离散信号

? 得到:

第二章第1讲

s与 z
5

离散时间序列的 傅里叶变换,
DTFT

Im [z]
z *面

0

R e[z]

z *面 Im [ z ]
r ?1

0

R e[z]

第二章第1讲

6

j?
4? fs
2? fs
0
?2? fs ?4? fs

s *面
?

z *面

第二章第1讲

Im [z]

r
?

0

R e[z]

7

? fs

? fs 2

0

fs 2

?? s

??s 2

0

?s 2

? 2?

??

0

?

?1

? 0 .5

0

0 .5

2? k 0 N
第二章第1讲

fs f

?s

?

2? ?
1
f?

k

N ?1

8

例1:求序列 x (n)= an u(n) 的Z变换。

? ? 解: X(z)??anu(n)z?n??(a)n

n???

n?0 z

为保证收敛,则 a ? 1
z

或 | z|?|a|

?X (z)? 1 ?z

|z|?|a|

1?(a z) z?a

若 a = 1, 则 u(n)?z |z|?1
z?1

第二章第1讲

j Im[z]

Z*面

0 a?

Re[ z ]

收敛域

9

例2:

{ 其他

?1

?

? ? X ( z) ? ? an z?n ? 1 ? (a?1z)n

n???

n?0

?

1

?

1

?

1 a

?1

z

?

z

z ?

a

ROC : a?1z ? 1, z ? a

第二章第1讲

10

ROC: z ? a

第二章第1讲

11

注意:

X (z) ? z z?a

z?a

X (z) ? z z?a
第二章第1讲

z?a
12

Z变换的定义

例3:求序列 x (n)= (1/3)|n| 的Z变换。

j Im[z]
Z*面

?

? 1

?

? ? ? 解:X (z)? (1 3 )nz? n? (1 3 )? nz? n?(1 3 )nz? n

n ? ??

n ? ??

n ? 0

?

?

0

?
1

3

? ? ? (13z)n ? (31z)n

收敛域

n?1

n?0

|z|<3时,第一项收敛于 ? z ,对应于左边序列。
z?3

|z|>1/3时,第二项收敛于 z ,对应于右边序列。

z

?

1 3

当 1 ?| z |? 3 时: X(z)??z?z ? ?8 3z

3

z?3 z?1 3 (z?3)z(?1 3)

零点:0,极点:3,1/3

第二章第1讲

?3Re[z]
13

1.

右边有限长序列

? X (z)?nN ? N 21x(n )z? n?x(N 1)z1 N 1?

1 ?x(N 2)zN 2

ROC:

z?0

2.

ROC:

双边有限长序列

z?0, z??

第二章第1讲

14

3. ROC:

右边无限长序列

4. ROC:

左边无限长序列

5.

双边无限长序列

ROC:

思考:什么信号的z变换的收敛域是整个z*面?

第二章第1讲

15

Z变换的收敛域

? Z变换的收敛域

对于任意给定的序列 x(n) ,使其Z变换收敛的所有 z值的集合称为 X (z) 的收敛域。

其收敛的充要条件是满足绝对可和条件,即:
?
?x(n)z?n ??
n???
根据级数收敛的阿贝尔定理

? ?limn an
n??

??1

?

? ?

1

? ??1

收敛 不定
发散

对于不同的序列 x(n) ,可求得相应的收敛域。

第二章第1讲

16

Z变换的收敛域

? 收敛域内不包含任何极点,在极点处,X(z)为无穷大,
Z变换不收敛。
? 有限长序列的收敛域为整个Z*面, 可能除开z=0, z=?。
? 右边有限长序列: X(z)=x(1)z-1+ x(2)z2+···· |z|>0
? 左边有限长序列: X(z)=x(-1)z1+x(-
2)z2+···· |z|<?
? 如果是右边序列,并且|z|=?位于收敛域内,那么, |z|>?也位于收敛域内。

?

?

? ? X(z)? x(n)z?n? ? x(n) e ?n j? ?越大收敛越快。

n?0

n?0

所以,收敛域在圆外。

第二章第1讲

17

Z变换的收敛域

? 如果是左边序列,并且|z|=?位于收敛域内,那么, 0<|z|<? 的全部 z 值也位于收敛域内。

0

?

? ? X(z)? x(n)z?n? x(?n)?nej?

n???

n?0

所以,收敛域在圆内。

? 如果是双边序列,收敛域由圆环组成。

j Im[z]

j Im[z]

j Im[z]

0

Re[ z ]

收敛域

收0敛域

Re[ z ]

0
收敛域

Re[ z ]

右边序列的收敛域

左边序列的收敛域
第二章第1讲

双边序列的收敛域
18

逆Z变换
? 逆Z变换 从给定的Z变换表达式(包括收敛域)求原序列的过程称为 逆z变换。其实质是求X(z)的幂级数展开式各项的系数。
? 逆Z变换的三种基本方法 围线积分法 部分分式展开法 长除法(幂级数展开法)
? 围线积分法
? x(n)? 1 X(z)zn?1dz
2?j c
式中C为收敛域中的一条逆时针环绕原点的闭合曲线。

第二章第1讲

19

逆Z变换
若被积函数 X(z)zn?1是有理分式,一般采用留数定理来计 算围线积分 。根据留数定理, x(n) 等于围线C内全部极 点留数之和,即:
? x(n)? Rs[e X (z)zn? 1,ak]
k
如果 X(z)zn?1还满足在 z??有二阶或二阶以上的零点,
则根据留数辅助定理,有:
? x(n )?? Rs[e X (z)zn ? 1 ,b k]
k
?a k ?是被积函数X(z)zn-1在围线C内的一组极点 ?bk ?是被积函数X(z)zn-1在围线C外的一组极点

第二章第1讲

20

逆Z变换

如果z k 为单阶极点,按留数定理:

? ? R s [ X ( z e ) z n ? 1 ,z k ] ?( z ? z k ) X ( z ) z n ? 1z ? z k

k

k

如果 z k为 m阶极点,则其留数为:

R s [X e (z)zn ? 1 ,zk]? (m 1 ? 1 )d d !m m ? ? 1 1 z [z? (zk)m X (z)zn ? 1 ]z? zk

在具体利用留数定理进行围线积分计算时,应根据被 积函数的特点及n值灵活选用公式来计算,可使问题 得以简化。 例如,在n小于某一值时,被积函数在围线内部z=0处 可能具有高阶极点,这时采用围线外部的极点进行计 算将方便得多。

第二章第1讲

21

逆Z变换

例1:已知某序列的Z变换为: X (z)?(1?a? 1z )? 1

求原序列x(n)

解:

? x(n) ? 1 (1? az?1)?1 zn?1dz
2?j c

z?a

? ? 1

1 zndz

2?j c z ? a

由于收敛域为 z ? a ,可知该序列必定是因果序列。

并且当 n?0时,z=0处不是极点,被积函数仅有单阶 极点a,在收敛域内取围线C包含极点a,可求得:

第二章第1讲

22

逆Z变换

例2: 已知序列的Z变换为:
X ( z )? [1 ? ( a )1 ? z ( a ? 1 )z ? 1 ,] |a ? 1 |? |z |? |a |
求原序列x(n)

解:∵ 所给收敛域 |a?1|?|z|?|a|为环域

∴ 原序列 x(n)必为双边序列

又?X(z)zn?1 ?

zn

(1?az)(z ?a)

|z|=|1/a|

j Im[z] 围线C

zn ? ?a(z ?a)(z ?a?1)

|z|=|a|

在收敛域内作包围原定的围线C

a
0
收敛域

1/a
Re[ z ]

第二章第1讲

23

逆Z变换

当 n?0时,只有一个单阶极点z=a,
其围线积分为:
x(n )? Rs[a e (z? a ? )1 z(? a ? 1 )zn,a ]? 1 ? a n a 2

n? 0

当n<0时,被积函数在围线内除了在z=a处有一个单 阶极点,在z=0处为高阶极点,因为这时在围线外 X(z)zn-1只有一个单极点z=a-1 ,因此有:

?x(n) ? a|n| 1?a2

第二章第1讲

24

逆Z变换

? 部分分式展开法

用部分分式展开法求反Z变换,X

(z)

?

B(z) A(z)

通常为有理分式。

1、单极点

M

?? X (z)

?

B(z) A(z)

bi z?i

?

i?0 N

1? ai z?i

i?1

若序列为因果序列,且N≥M,当X(z)的N个极点都是单

极点时,可以展开成以下的部分分式的形式:

? X(z)?A 0?kN ?11?A zk kz?1

z?mazkx] [
N

? 则其逆Z变换为:x(n)?A0?(n)? Akzknu(n)

k?1

第二章第1讲

25

逆Z变换

说 明 : 1 、 X(z) 较 简 单 时 可 按 算 术 展 开 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N) 。
2 、 X(z) 较 复 杂 时 可 按 留 数 定 理 求 各 系 数
Ak(k=0,1…,N),此时为了方便通常利用X(z)/z的
形式求取:

A0

?X(0)?bN aN

?Res[X(z),0] z

Ak ?(1?zkz?1)X(z) z?zk ?Res[Xz(z),zk]

第二章第1讲

26

逆Z变换

2、高阶极点

当上述有理分式中的M≥N且具有高阶极点时,若设除

单极点外,在zi处还有一个s阶的极点,则其展开式 修改为:

? ? ? X (z)? M k? ? 0 NB kz? k? N k? ? 1 s1 ? A zk kz? 1? ks ? 1

C k (1 ? ziz? 1 )s

式中Bk(k=0,1…,N)为X(z)整式部分的系数,可用
长除法求得。Ak仍按上面的方法计算,Ck的计算公 式为:

C k?(s? 1 k)d d !ss ? ? k k z[z(? zi)sX z (z)]z? zi k? 1 ,? ,s

第二章第1讲

27

逆Z变换

例: 已知 X(z)? z2

z?2 ,求X(z)的原序列。

(z?2)(z?0.5)

解: 将X(z)变为X(z)/z的形式并化为部分分式

X (z)? z

?A 1 ? A 2

z (z?2)z(?0.5) z?2 z?0.5

由求系数Ak的公式求得

A 1? 4 /3 , A 2? ? 1 /3

因为X(z)的收敛域为 z ? 2 ,为因果序列,

从而求得

x(n)?4(2)nu(n)?1(0.5)nu(n)

3

3

第二章第1讲

28

逆Z变换
? 长除法(幂级数展开法)
?
? X (z)? x(n )z? n?x(0 )? x(1 )z? 1? x(2 )z? 2? ? n ? 0
若把X(z)展开成z-1的幂级数之和,则该级数的各系数 就是序列 x(n) 的值。 在具体进行长除法时,要根据收敛域先确定序列是左 边序列还是右边序列。对于左边序列Z变换为z的正幂 级数,分子分母多项式应按升幂排列展开;对于右边 序列,Z变换为z的负幂级数,分子分母应按降幂排列 进行展开。
? 典型例题

第二章第1讲

29

逆Z变换
例: 用长除法求X (z)?(1?a? 1 z)? 1 z?a的逆Z变换。
解:由收敛域知,这是一右边序列。用长除法将其展 开成z的负幂级数时应将分母多项式按降幂排列。

?
? 即: X (z)?1?a? 1 z?a2z? 2? ? ? anz? n n? 0 ? x(n)?anu(n)

第二章第1讲

30

逆Z变换

例: 用长除法求 X (z )? [1 ? ( a )1 ? z ( a ? 1 )z ? 1 ,] |a ? 1 |? |z |? |a |的逆Z变换

解: ∵收敛域|a?1|?|z|?|a|为环域,

∴x(n)必为双边序列。

?X (z)?(1 ? a)1 1 z( ? a? 1 )z? 1 ? 1 a 2[z? aa? 1 ? 1 a]z

∴右边序列为:
x(n)?1? an a2

n?0

∴左边序列为:
x(n)? a?n 1?a2

n?0

对右边序列
a?1 z?a2z?2?a3z?3????

对左边序列
1?a? za 2z2?a 3z3? ???

z?aa

1?az 1

a ? a2z?1

1 - az

a2 z ?1

a2z?1 ? a3z?2

a3z?2

an

?????? 综上可得: x(n) ?

1 第二章第1讲 ? a2

az az ? a 2 z 2
a2z2 a2z2 ? a3z3
a3z3 ??????
31

逆Z变换

例: 求X (z )? ln 1 ? a (? 1 ) z |z|? |a |的逆Z变换。

解:由收敛域 z ? a 知原序列应为因果序列。

? ln1(?x)的幂级数展开式为

? ?(?1)n? 1xn

ln1? (x)?

n? 1

n

|x|?1

用 x?az?1代入上式,因 x ? 1 故有 z ? a ,即:

? X (z)??(? 1 )n? 1anz?n

n? 1

n

? x(n)?? ? ?(?1)nn?1an ? ?0

|z|? |a|
n?1 n?0

第二章第1讲

32

序列

Z

变换

收敛域

? (n)

1

u(n)
anu(n)

? z
z?1

1 1?z?1

? z
z?a

1 1?az?1

RN (n)

? zN?1
zN?1(z?1)

1?z?N 1?z?1

nu(n)

? z
(z?1)2

z?1 (1?z?1)2

? ? sinn(0)u(n)
? ? cons(0)u(n)
? e?ansinn(0)u(n)
? e?ancons0()u(n) ? ? sin0n (?)u(n)

zsi? n0

z? 1si? n0

z2 z? 22 ?z zc co o ? ?0 0 s s? 1 ?? 1?2 1? z? z1 ? c 1coo 0s? 0sz?2

? ? z2?2zco0s? z1 ?1e?a1 s? i2 n ?z0? 1co0s?z?2

1?2z1? ?1ze? ?1aec?a oc?so 0? ?sz0?2e?2a

1s?in2?z??1ez? ?a 1 scino(? ?s00 ? ??z?)2e?2a

1? 2 z ?1 cos ? 0 ? z ? 2

第二章第1讲

全部z z ?1
z?a
z ?0
z ?1
z ?1
z ?1
z ? e?a z ? e?a
z ?1
33

Z变换的性质与定理

? 线性性

返回

设Z[x(n)]?X(z) Rx??z?Rx?

Z[y(n)]?Y(z) Ry??z?Ry?

则 Z [ a ( n ) ? b x ( n ) ? y a ] ( z ) ? X b ( z ) Y R ? ? z ? R ?

其 R ? ? 中 m R x ? a ,R y ? x ] R [? ? m R x ? i ,R n y ? ][

? 序列的移位

返回

若 Z [ x ( n )? ] X ( z ) R x ? ? z? R x ?

则 Z [ x ( n ? n 0 ) ? z ] ? n 0 X ( z ) R x ? ? z ? R x ?

? 序列乘指数序列(尺度性)

若 Z [ x ( n )? ] X ( z ) R x ? ? z? R x ?

则 Z [ a n x ( n ) ? X ] ( a ? 1 z ) a R x ? ? z ? a R x ?

第二章第1讲

34

Z变换的性质与定理

? 序列的反褶

若 Z [ x ( n )? ] X ( z ) R x ? ? z? R x ? 则 Z [ x ( ? n )? ] X ( z ? 1 )1 / R x ? ? z ? 1 / R x ?

? 序列的共轭

若 Z [ x ( n )? ] X ( z ) R x ? ? z? R x ? 则 Z [ x ? ( n )? ] X ? ( z ? ) R x ? ? z ? R x ?

? Z域微分性

返回

若 Z [ x ( n )? ] X ( z ) R x ? ? z? R x ?

则 Z [n(n x )? ]? zd d (z X )z R x ?? z? R x ?

第二章第1讲

35

Z变换的性质与定理

? 初值定理 若x(n)为因果序列,它的初值为:

x(0)?lim X(z) z? ?
? 终值定理 若x(n)为因果序列,且其Z变换的极点除在z=1处可以

有一个一阶极点外,其它极点均在单位圆内,则有:

lix m (n )? li(m z? 1 )X (z)

n ? ?

z? 1

? 卷积定理
设Z[x(n)]?X(z) Rx??z?Rx?

返回

Z[h(n)]?H(z) Rh??z?Rh? 则 Z [ x ( n ) ? h ( n ) ? X ] ( z ) H ( z ) R ? ? z ? R ?
其 R ? ? m 中 R x ? ,a R h ? ]x R ? ? [ m R x ? ,R ih ? ] n[

第二章第1讲

36

Z变换的性质与定理

? 序列相乘(复卷积定理)

返回

设Z[x(n)]?X(z) Rx??z?Rx?

Z[h(n)]?H(z) Rh??z?Rh?

?? 则 Z [ x ( n ) h ( n )? ] 1X ( z ) H ( v ) v ? 1 d 2 jc v

v R h ? R x ? ? z ? R x ? R h ?

? Parseval定理

若Z[x(n)]?X(z) Rx??z?Rx?

Z[y(n)]?Y(z) Ry??z?Ry? 且R y ? R x ?? 1 ? R x ?R y ?
? ?? 则 n ? ? ?x ? (n )y*(n )?2 1 jcX (v)Y *(v 1 *)v? 1 dv

第二章第1讲

37

Z变换的性质与定理
? 重抽样序列的Z变换 对序列抽取运算时,将序列x(n)以M:1抽取后形 成的新序列y(n)。两者之间的关系为:
y (n )? x (n) Mn ? 0 ,? 1 ,? 2 ,? 若Z[x(n)? ]X(z)
? 则Y(z)?1M ? 1X(z1/M e?j(2?/M )l)
M l? 0

第二章第1讲

38

典型例题

查看性质

? 例 1 求序列 x(n)?rnco?0 sn)u ((n)的z变换,

并确定其收敛域。
解:?Z[anu(n)]?1?1az?1

z ?a

?Z[rnej?0nu(n)]?1?r1ej?0z?1

z ?rej?0 ?r

线性性 Z[rne?j?0nu(n)]?1?re1?j?0z?1

z ?re?j?0 ?r

?Z[rnco?s0n()u(n)]?1 2[1?r1ej?0z?1?1?re1?j?0z?1]

?1?(21r?c(roc?s0o)?zs0?1)z??1 r2z?2

z?r

第二章第1讲

39

典型例题

查看性质

? 例 2 设 x ( n )? x ( n ) u ( n )X , ( z )? Z [ x ( n )z ]? R ,x n ? 求 y(n) ? x(m)的z变换和收敛域。

m?0

n

n ? 1

解:? x(n )?? x(m )? ? x(m )?y(n )?y(n? 1 )

m ? 0

m ? 0

序列的移 ? Z [x ( n )? ] Z [y ( n )? y ( n ? 1 )]
位性
? X (z)?Y(z)?z? 1 Y(z)

即 Y (z)?1? 1 z? 1X (z) z?mR ax,1 x ] [

第二章第1讲

40

典型例题

查看性质

? 例3

解:X(z)对z进行微分:

dX(z) ?az?2

Z域微分

dz ?1?az?1

逆Z变 ? 性 Z [n(x n)] ??zdd( X zz )?1? aa ? 1 z? 1 z



Z ? 1 [1 ? a a ? 1 ? z 1] z? a? 1 Z [1 ? (z ? ? a 1)? 1 z]? a (? a )n ? 1 u (n ? 1 )

? x(n )?(? 1 )n ? 1a nu (n? 1 ) z?a n

第二章第1讲

41

典型例题

查看性质

? 例4 设 x(n)?u(n) h(n)?anu(n) a ? 1

用卷积定理求 y(n)?x(n)?h(n)

解:

? X(z)?Z [u(n)? ]1? 1 z? 1 |z|?1

卷积定理

H (z)? Z [a n u (n )? ]1 ? 1 a? 1 z |z|? |a |

11

? Y (z )? X (z )H (z )? 1 ? z? 11 ? a? 1z |z|? 1

?? ? y (n )? Z ? 1 [X (z)H (z)? ]1

zn ? 1

dz

2jc (z? 1 )z (? a )

逆Z变换

?Res[ zn?1 ,1]?Res[ zn?1 ,a]

(z?1)(z?a)

(z?1)(z?a)

1 an?1 1?an?1

???

u(n)

1?a a?1 1?a

第二章第1讲

42

典型例题

查看性质

? 例5 已x知 (n)?anu(n),h(n)?bnu(n) y(n)?x(n)h(n)其|a 中 |?1 、 |b|?1

用复卷积定理求 Y(z)?Z[y(n)]

解: ? X (z)? Z [a n u (n )? ]1 ? 1 a? 1 z |z|? |a |

复卷积定 理

H (z)? Z [b n u (n )? ]1 ? 1 b? 1 z |z|? |b |

? ?Y(z)?Z[y(n)]? 1
2?j

1

v?1

c1?a(z)?1 1?bv?1dv

v

?

1
2?j

?z/a

?c(v?a/

dv z)(v?b)

第二章第1讲

43

典型例题

查看性质

在v*面中,被积函数有2个极点,即v1=z/a
和v2=b。因x(n)和h(n)都是因果序列,其收敛 域为:b ? v ? z
a
可 见 , 只 有 一 个 极 点 v2=b 在 围线C内。由留数定理求得:

Y(z)?Res[ ?z/a ,b] (v?a/ z)(v?b)

?1?a1b?z1

| z|?max[a||,|b|]

第二章第1讲

44

Z变换与拉氏变换的关系

? S*面到Z*面的映射
Z变换与拉氏变换的关系: X(z)|z?esT?X ?a(s) 这一关系实际上是通过 z ?esT将S*面的函数映射

到了Z*面。

若将Z*面用极坐标表示z?rej? ,S*面用直角坐

标表示s???j?,代入 z ?esT ,得:

? r? e ? T

? ? T

上述关系表明: z 的模 r 仅与 s 的实部 ?相对应, z 的幅角 ?则仅与 s 的虚部 ?对应。

映射关系:? ?0?r ?1 (z*面上的单位 ) 圆

? ?0?r ?1 (z*面单位圆) 内

? ?0?r ?1 (z*面单位圆) 外

第二章第1讲

45

Z变换与拉氏变换的关系

??0?? ?0,2?

(S*面实轴映射到Z*面的正实轴)

s ?0?z ?1

(S*面原点映射到z =1点)

?? ?? /T ?? ? ?? (当由-?/T 增加到+ ?/T 时,对应于 ?由- ? 增加到+ ?)

由于z ?rej?是 ?的周期函数,S*面每增加一个宽为 2?/T 的水*条带时,对应于Z*面从-?到+ ?旋转了

一周。这样就有:? ?(?? ~? )? z?1

即S*面的整个虚轴都映射到了Z*面 z =1 的单位圆 上,因此由S*面到Z*面的映射是多值映射,这些关系

示于下图示:

第二章第1讲

46

Z变换与拉氏变换的关系

? 抽样序列的Z变换表示 抽样序列的傅立叶变换即抽样序列的频谱。由于傅 立叶变换是拉氏变换在虚轴上S ? j?的特例,按照
前面的S→Z*面的映射关系,它映射到Z*面 z =1
的单位圆上,故有
X (z)z? ej? T? X (ej? T )? X ?a (j? )
? ? 或 X (ej? T)?X (ej?)? T 1n ? ? ? ?X a(j? ?j2 Tn )
定义:Z*面的角变量 ?,称为数字频率,单位为弧度。
? ??T ? 2?f
fs

第二章第1讲

47

系统函数

本节将以系统函数和传输函数为核心来研究系统的
变换域分析方法,它们分别是h(n)的Z变换和傅立

叶变换。 ? 系统函数与系统的频率响应
1、系统函数:若系统单位脉冲响应为h(n),则线性 时不变离散系统零状态响应的输入输出关系为:

y(n )?x(n )?h (n )

两边取Z变换得 Y(z)?X (z)H (z)

?H(z) ? Y(z) 称H(z)为线性时不变离散X系(z统) 的系统函数,它是单位

脉冲响应的Z变换 ,即:

?
? H(z)?Z[h(n)]? h(n)z?n

n???

第二章第1讲

48

传输函数

2、系统的频率响应(传输函数)
系统函数在单位圆上的Z变换,即单位脉冲响应的傅立叶变换

物理 意义

? H (ej?)?F [h (n)] ??h(n)e?j?n

n? ? ?
称为系统的频率响应,又称为系统的传输函数。
若给系统输入单频率的复信号x(n)?ej?0n ,则系统

? 的输y ( 出n 为)? :x (n )? h (n )??h (m )e ? j? 0(n ? m )

? ? e j? 0 n? h ( m ) e ? m j? ? 0 ? m ? ? e j? 0 n H ( e j? 0 )

m ? ??
结论:当输入为一个单频率的信号时,输出亦为同

一频率的信号,但其幅度与相位都因为

的加

权而发生了变化,且

的值是随频率的变化而

变化的。

第二章第1讲

49

系统函数

? 系统的因果性与稳定性
因果系统的系统函数H(z)具有包括∞点的收敛域:
Rx? ?| z|??
系统稳定的充要条件:系统函数H(z)的所有极点
都必须在单位圆内。
稳定因果系统的收敛域为: 1?| z|??
? 例:若系统函数如下式,判断系统的因果性和稳定性。
H(z)?(1?2z?11)1(?2z) 2?|z|??
解:H(z)有2个极点,z1 ? 2和 z2 ?1/2,给定的收 敛域为2 ? z ? ?,包括无穷远点,故系统为 因果系统。但收敛域不包括单位圆,因此系统 是不稳定的。

第二章第1讲

50

系统函数

若将收敛域改为1/2? z ?2,这时,收敛域 包括单位圆,但不包括无穷远点,此时系统稳 定但非因果。实际上这时系统的单位脉冲响应 为 h(n)?(1/2)n ,显然不是因果的。
该例表明:①同一个系统函数,如果收敛域不同, 系统的特性是完全不同的。②由于任何物理可实 现系统都必定是因果的,对于这种非因果但稳定 的系统,有时可采用将单位脉冲响应截取一段后 保存在存储器中,通过延时使之变成因果系统来 *似实现。

第二章第1讲

51

系统函数
如该例中,若将h(n)?(1/2)n截取从 ?N ?n?N ? 1 的一段,然后令:h '(n )? h (n ? N )? ( 1 /2 )|n ? N |,0 ? n ? 2 N ? 1 来*似实现,如图所示。显然N越大,*似程度越 好,但系统也就越复杂成本也越大。

第二章第1讲

52

离散时间系统的Z变换解法

? 零状态响应的解法
当输入x(n)为因果序列时,线性时不变离散系统的常

系数差分方程描述为:

N

M

?aky(n?k)??bkx(n?k)

k?0

k?0

在系统初始状态为零,即y(n)=0(n<0)时,对上式两边

取双边Z变换,由Z变换的移位特性并经整理可得:

M

?? H ( z)

?

Y (z) X (z)

?

k ?0 N

bk z?k ak z?k

k ?0
由卷积定理,当x(n)给定时就可由下式求得响应:

y(n)?Z?1[H(z)X(z)]

第二章第1讲

53

离散时间系统的Z变换解法

? 初始状态不为零的解法

N

M

对差分方程 ?aky(n?k)??bkx(n?k)两边进行单边Z变

k?0

k?0

换,并利用单边Z变换的移位特性,得到:

N

? 1

M

? ? ? a kz? k[Y (z)? y(l)z? l]? b kX (z)z? k

k? 0

l? ? k

k? 0

经整理得到: M ?bkz?k

N

?1

? ? akz?k

y(l)z?l

Y(z)?kN ?0

X(z)?k?0

l??k N

?akz?k

?akz?k

k?0

k?0

零状态响应 零输入响应

第二章第1讲

54

典型例题

? 例:已知系统的输入输出满足以下差分方程:
y(n)?a(n y? 1 )?x(n), a?1初始条件 y(-1)=1

求输入信号x(n)=u(n)时系统的响应。

解: 对差分方程两边作单边Z变换得:

Y (z )? a z ? 1 Y (z )? a y ( ? 1 )? X (z )
又 ? X (z)? Z [u (n )? ]1 ? 1 z? 1, |z|? 1
? Y(z)?(1?1 a? 1 z)(1? 1 z? 1)?1?a a? 1 z

收敛域为|z|?maax|1 ,][?|1。求逆Z变换得:

y(n)?an?1?1?an?1

n?0

1?a

零输入响应

零状态响应

第二章第1讲

55

系统函数的零极点与频率响应

? 极零点
系统函数

M

? ? H (z) ?

Y (z) X (z)

?

bk z ?k
k ?0
N
ak z ?k

对其进行因式分M 解得:

k ?0

为两多项式之比
H(z)的零点
M

?(1?ckz?1)

?(z?ck)

H(z)?AkN ?1

?Az N?M

k?1 N

?(1?dkz?1)

?(z?dk)

? 系统的频率响k? 应1

k?1
H(z)的极点

对于稳定系统,其极点应全部位于单位圆内,或单

位圆包括在收敛域内,其傅立叶变换存在。将z ?ej?

代入H(z) ,得到系统的频率响应:

M

?(ej? ?ck)

H(ej?) ? Aej?(N?M)

k?1 N

?(ej? ?dk)

k?1

第二章第1讲

56

系统函数的零极点与频率响应

? 极零点分布与系统的频率响应

令 e j? ? c k ? c k B ? Q k e j? k ,

e j? ? d k ? d k B ? Pk e j? k

其中 , Q k , ? k 分别为

c k B 模和相角 , 而 Pk , ? k 分

别为 d k B 模和相角 .

M

?Qk

?H(e )?Ae e j?

j?(N?M) k?1

j[(?1??2?? ??M)?(?1??2?? ?N)]

N

?Pk

k?1

第二章第1讲

57

系统函数的零极点与频率响应

? 系统的频率响应特性

M
? Qk

系统的幅频特性: | H (e j? ) |?

A

k ?1 N

? Pk

系统的相频特性:

k ?1

aH r( e g j? )? [ ]

? ?? ? ?? ? aA r]? g (N [ ? M )? (1 ?2 ? ? ?M )? (1 ? 2 ? ? ?N )

第二章第1讲

58

系统函数的零极点与频率响应
由幅频特性可知:①当频率点变到极点附*时,Pk 就变小,就会在该极点附*的频率出现峰值,极点 越接*单位圆,峰值就越尖锐;同样,当频率点变 到零点附*时,Qk就变小,就会在该零点附*的频 率出现低谷,当零点在单位圆上时,该零点就是传 输零点。可见在单位圆附*的零极点对系统的幅频 特性有较大的影响。②零点可在单位圆内外,但极 点只能在单位圆内,否则系统将不稳定。③而系统 的相位响应对幅度特性没有影响。

第二章第1讲

59

典型例题

? 例:已知系统的差分方程为:y (n )? a(n y ? 1 )? x (n ), 0 ? a ? 1 指出系统函数的零极点并分析系统的频响特性。
解:系统的传输函数为:H(z)?1?1a?z1 |z|?a ∴极点为 z?a,零点为z ?0

当ejω 在单位圆上从ω =0逆时针旋 转一周时:①在ω =0处,极点到 单位圆的距离最短,∴ω =0频率 点幅度最大,成为波峰;②在
ω =π 时,极点到单位圆的距离最 长,∴在ω =π 频率点幅度最小, 成为波谷;③在原点处的零点,
对幅度特性没有影响。

第二章第1讲

60

典型例题

幅度特性:

|H(ej?)|?

1

1?a2?2aco?s

相位特性:
arH g (ej[?)? ]?arc1? taa s acin ? n o ?()s

系统频响特性为低通特性

第二章第1讲

61

系统的分类
? IIR系统和FIR系统的定义 根据离散时间系统的单位脉冲响应h(n)在时域中的长度 可将其分为两种类型: ①当h(n)的长度为无限长时称为无限长脉冲响应系统, 简称为IIR系统。 ②当h(n)的长度为有限长时称为有限长脉冲响应系统, 简称为FIR系统。 通常可以根据系统函数的零极点来判断系统是IIR系 统还是FIR系统。

第二章第1讲

62

系统的分类

? 无限长单位脉冲响应(IIR)系统

一方面,∵h(n)无限长,实际计算中即使x(n)已知,

也无法通过卷积 y(n)?x(n)*h(n),求得系统的响应

y(n),只能用求解差分方程或Z变换的方法求得y(n)。

另一方面,∵IIR系统中至少有一个ak≠0(k=1,2,…

),其差分方程表达式(设a0=1)为:

N

M

y(n)???aky(n?k)??bkx(n?k)

k?1

k?0

可见输出不但与输入有关,还与以前的输出及其加权

值有关,即系统中存在着输出对输入的反馈回路。这

种结构常被称作为递归结构,在求解差分方程时需采

用迭代的方法。

第二章第1讲

63

系统的分类

? 有限长单位脉冲响应(FIR)系统

对于FIR系统,∵它的h(n)为有限长,若已知输入x(n), 可通过卷积直接算出输出y(n)。 例如假定h(n)取值范围为0≤n≤N-1 则:
N ? 1
y(n )?x(n )*y(n )?? x(m )h (n?m ) m ? 0
另一方面,若直接由差分方程来求输出,由于所有

ak=0(k=1,2,…),此时差分方程变为: M y(n)??bkx(n?k) k?0
可见:其输出仅与当前及以前的输入有关,与以前的
输出无关,不存在着输出对输入的反馈,这种结构通

常又被称为非递归结构。

第二章第1讲

64


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