控制系统的时域分析_稳定性

发布于:2021-10-16 13:49:34

第3章 控制系统时域分析

控制系统稳定性判定

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第3章 控制系统时域分析

3.1 控制系统的稳定性
在控制系统的分析研究中,最重要的问题是系统的稳

定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素
扰动时,会使被控制量偏离原来的*衡工作状态,并随 时间的推移而发散。因此,不稳定的系统是无法正常工

作的。在这一节中将讨论稳定性的定义,稳定的充要条
件及判别稳定性的基本方法。 3.1.1 稳定的概念和定义 在自动控制理论中,有多种稳定性的定义,这里只 讨论其中最常用的一种,即渐*稳定性的定义。
2

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第3章 控制系统时域分析 稳定与不稳定系统的示例
f

?

?

A

A'

图b

A

f

图a

d c
f

图a为稳定的系统。 图b为不稳定系统。 图c中,小球在C、D范围内, 系统是稳定的,故可以认为该 系统是条件稳定系统。

A 图c
3

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第3章 控制系统时域分析

3.1.2 稳定的充要条件
稳定性是系统在扰动消失后,自身具有的一种恢复能 力,它是系统的一种固有特性,这种特性只取决于系统的 结构和参数,与外作用无关。

线性定常系统的稳定性的定义:如果线性定常系统受到扰
动的作用,偏离了原来的*衡状态,而当扰动消失后,系 统又能够逐渐恢复到原来的*衡状态,则称该系统是渐*

稳定的(简称为稳定)。否则,称该系统是不稳定的。

4

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第3章 控制系统时域分析

稳定性及其图形表示:
c(t) c(t) c(t)

0

t

0

t

0

t

a)

b)

c)

系统稳定性示意图

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第3章 控制系统时域分析

3.1.3.系统稳定性的条件
系统传递函数
? ( s) ?
G( s) C ( s) ? 1 ? G ( s) H ( s) R( s)
R(s)

+

G(s) H(s)

C(s)



C ( s) b0 s m ? b1s m?1 ? ? ? bm?1s ? bm ? ( s) ? ? n n ?1 R( s) a0 s ? a1s ? ? ? an?1s ? an
又设 :

n?m

1 R( s) ? s
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则有

b0 s m ? b1s m?1 ? ? ? bm?1s ? bm 1 C ( s ) ? ? ( s ) R( s ) ? ? n n ?1 a0 s ? a1s ? ? ? an ?1s ? an s A0 A1 Ai An ? ? ??? ??? s s ? s1 s ? si s ? sn
其中si为特征方程的根。 对上式求拉氏反变换, 得系统 输出响应为

c(t ) ? A0 ? A1e ? ?? Ai e ? ?? Ane
s1t si t
参考输入稳态分 量
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snt

瞬态分量

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其中, 第一项为由输入引起的输出稳态分量, 其
余各项为系统输出的瞬态分量。 显然, 一个稳定的系 统, 其输出瞬态分量应均为0。 由上式可知,要做到 这一点, 必须满足

lim e ? 0
si t t ??

所以, 系统稳定的充分与必要条件是系统所有特征根的 实部小于零(或其特征方程的根都在s左半*面), 即 Re[si]<0 i=1, 2,..., n

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(1)若系统的极点

si

为负实数,那么 lim c (t ) ? A , 0
t ??

c (t ) ? A0 。 如果有一个极点为正,那么系统脉冲响应 lim t ??

所以系统的极点为实数,应全部为负实数,才能满足

lim c (t ) ? A0
t ??



(2)若系统的极点含有复数根,应为共轭复根。设共 轭复根 p1 ? a ? jb, p2 ? a ? jb
c (t ) ? L?1[G ( s ) R ( s )] ? A0 ? ? Ai e si t
i ?1 n

? A0 ? A1e ? A0 ? e
at

( a ? jb ) t

? A2 e

( a ? jb ) t

? ? Ai e si t
i ?3 n

n

(A 1e

? jbt

? A2 e

jbt

) ? ? Ai e si t
i ?3

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第3章 控制系统时域分析

一个系统稳定的必要和充分条件是其特征方程的根全部 在s*面的左半*面(如图所示)。

考察控制系统的传递函数式G(s)

?σ+jω

jω jωj s2 O ?jωj σ+jω

bm s m ? bm ?1s m ?1 ? … ? b1s ? b0 G(s) ? (n?m) an s n ? an ?1s n ?1 ? … ? a1s ? a0

s1

σ σ?jω

控制系统的特征方程式就是其传 递函数的分母等于零的方程。因此在 求得系统的传递函数后,取其分母等 于零,便可分析系统的稳定性。

?σ?jω

复*面上的根

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3.1.4、劳斯判据
1、劳斯判据: (1)系统特征方程中的各项系数同号且不缺项。 (2)劳斯行列中第一列各元素同号。 系统稳定, 反之,系统不稳定。劳斯行列第一列元素符

号变化的次数等于正极点的个数。
系统特征方程:

B(s) ? an s ? an?1s ? an?2 s
n

n?1

n ?2

? ..........? a1s ? a0

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s n an an ? 2 n ?1 s an ?1 an ?3 s n ? 2 A1 n ?3 B1 s ? s 0 N1 A2 B2

an ? 4 an ?5 A3 B3 ?

an ? 6 ? an ? 7 ? A4 B4 ? ?

? 1 a n an?2 A1 ? an?1 an?1 an?3
? 1 an an?4 A2 ? an?1 an?1 an?5
? 1 a n a n ?6 A3 ? an?1 a n?1 an?7

? 1 a n ?1 a n ?3 B1 ? A2 A1 A1

? 1 an?1 an?5 B2 ? A1 A1 A3

? 1 an?1 an?7 B3 ? A1 A1 A4

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例:系统的闭环传递函数为
20 ( s ? 1) G (s) ? 4 s ? 3s 3 ? 400 s 2 ? 20 s ? 20 系统特征方程中各系数同号且不缺项。

劳斯行列式为

s s3 s2 1 s

4

1 3 393.3

400 20 20 0

20 0 0

19.85 0 s 20

劳斯行列第一列元素同号,系统稳定。
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设闭环控制系统的传递函数是
3s3 ? 12s 2 ? 17s ? 20 G( s ) ? 5 s ? 2s 4 ? 14s3 ? 88s 2 ? 200s ? 800
判定该系统是否稳定。如不稳定,求出具有正实部的根数。

解 : 系统的特征方程是 s 5 ? 2s 4 ? 14s 3 ? 88s 2 ? 200s ? 800 ? 0
上式各项系数均为正。列出劳斯计算表:
s5 1 14 200

s4
s3

2
-30

88
-200

800
(改变符号一次)

s2
s1 s0

74.7
121 800

800

(改变符号一次)

数表第一列有两次符号变化,闭环系统有两个具有正实部的根, 故不稳定。
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(2)三阶系统 特征方程 B(s) ? a3s3 ? a2s2 ? a1s ? a0

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劳斯判据特殊情况 劳斯表某一行中的第一项等于零,而该行的其余各 项不等于零或没有其余项。 解决的办法 是以一个很小的正数

?

来代替为零的这项

据此算出其余的各项,完成劳斯表的排列 ?若劳斯表第一列中系数的符号有变化,其变化的次数 就等于该方程在S右半*面上根的数目,相应的系统为不 稳定 ?如果第一列 ? 上面的系数与下面的系数符号相同,则 表示该方程中有一对共轭虚根存在,相应的系统也属不稳 定
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已知系统的特征方程式为 试判别相应系统的稳定性。 解:列劳斯表

S ? 2S ? S ? 2 ? 0
3 2

S3 S2 S1 S0

1 2 0(? ) 2

1 2
0

由于表中第一列

?

上面的符号与其下面系数的符号相同,表示该方程中有一 对共轭虚根存在,相应的系统为(临界)不稳定。

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Eg 已知特征方程为 s 5 ? 2s 4 ? 3s 3 ? 6s 2 ? 2s ? 1 ? 0 判别系统的稳定性。 解:系统各项系数均大于0 列写劳斯表:
S5 S4 S3 S2 S1 S0 1 2 0(ε ) (6ε -3)/ε m 1 3 6 3/2 1 2 1 0

(6ε -3)/ε →-∞ m=1.5-ε 2/(6ε -3)→ 1.5

第一列含有负数,系统不稳定
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劳斯表中出现全零行

解决方法:将该零行上面的一行的各项组成 一个“辅助方程式”。将该方程对s求导,用求 得的各项系数代替原来为零的各项,然后按斯 计算表的写法继续写完以后各项 。

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第3章 控制系统时域分析 已知控制系统的特征方程如下



s 6 ? 2s 5 ? 8s 4 ? 12s 3 ? 20s 2 ? 16s ? 16 ? 0
试判定系统的稳定性

解:

特征方程各项系数为正。列出劳斯计算表如下:
s6 s5 s5 s4 s4 s3 1 (2 1 (2 1 0 8 12 6 12 6 0 20 16) 8 16) 8 (约简) (约简) 16

因s3 行各项全为零,故以s4行的各项作系数,写出辅助方程如下

A( s) ? s 4 ? 6s 2 ? 8
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第3章 控制系统时域分析 将A(s)对s求导,得

d A(s) ? 4s3 ? 12s ds

再将上式的系数代替s3行的各项系数,继续写出以下劳斯计算表:
s6 s5 1 1 8 6 20 8 16

s4
s3 s3 s2

1
(4 1 3

6
12) 3 8

8

(约简)

从劳斯计算表的第一列可以看出,各项并无符号变化,因此特征方程 无正根。但因 s3行出现全为零的情况,可见必有共轭虚根存在,这可通过

求解辅助方程A(s)得到:

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F (s) ? s 4 ? 6s 2 ? 8 ? s 4 ? 6s 2 ? 8 ? (s 2 ? 2)(s 2 ? 4) ? 0
此式的两对共轭虚根为

s1,2 ? ? j 2

s3,4 ? ? j2

这两对根,同时也是原方程的根,它们位于虚轴上,因此该控制系 统处于所谓临界稳定状态。

若控制系统的特征方程缺项,或系数不全为正,则系
统一定不稳定。

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劳斯判据的应用 稳定判据能回答特征方程式的根在S*面上 的分布情况,而不能确定根的具体数据。 实际系统希望S左半*面上的根距离虚轴有 一定的距离。 设

s1

?
?a 0

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